Что такое формулы редукции?
В дисциплине интегрального исчисления формула приведения — это способ интегрирования функции, то есть нахождения площади кривой под функцией или функции, которая описывает площадь под этой кривой. Формула приведения используется, когда выражение содержит целочисленный параметр, который не может быть интегрирован непосредственно. Формула сокращения позволяет математику упростить интеграл, чтобы его можно было вычислить.
Что такое формулы сокращения триг?
Формулы сокращения триг-интеграла — это один из видов формул сокращения, которые полезны, когда экспоненты слишком велики, чтобы с ними можно было легко работать. Их можно использовать для любой мощности триггерной функции, которая больше единицы. Ниже приведены шесть формул сокращения тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.
∫ sinn aXdX = — [(sinn-1 aX cos aX)/an] + (n-1)/n ∫ sinn-2 aXdX
∫ cosn aXdX = (cosn-1aX sin aX)/an + (n-1)/n ∫ cosn-2 aXdX
∫ tann aXdX = tann-1aX/a(n-1) — ∫ tann-2 aXdX
∫ cotn aXdX = — [cotn-1aX/a(n-1)] — ∫ cotn-2 aXdX
∫ secn aXdX = (secn-2aX tan aX)/a(n-1) + (n-2)/(n-1) ∫ secn-2 aXdX
∫ cscn aXdX = — [(cscn-2aX cot aX)/a(n-1)] + (n-2)/(n-1) ∫ cscn-2 aXdX
При использовании одной из этих формул для интеграла с экспонентой 3 или выше, первый результат все равно будет содержать интеграл в конце, который необходимо уменьшить. Если экспонента больше единицы, мы просто используем формулу снова, пока конечный результат не будет иметь экспоненту 1 или вообще не будет иметь экспоненты.
Интегрирование составных тригонометрических функций
Когда одна тригонометрическая функция вложена в другую, выражение называется составной тригонометрической функцией. Оно может быть выражено как F(g(x)). Уравнение такого типа можно интегрировать, подставив u вместо g(x), если мы знаем, как интегрировать F, и если g(x) дифференцируется до константы. Часто произведение двух или более триггерных функций можно найти с помощью описанной ниже подстановки. Например, для решения уравнения
F(x) = ∫ sin3X cosX dX
мы можем заменить переменную u на sinX и du на cosX dX, в результате чего получим
F(x) = ∫ u3du
Однако если синус и косинус в приведенном выше уравнении оба имеют экспоненты, нам нужно использовать другой метод. Например, если уравнение имеет вид
F(x) = ∫ sin5x cos3x dx
мы можем использовать формулу тождества sin2x + cos2x = 1, чтобы заменить силы косинуса (кроме одной) на sinX. Это приводит к более простой форме уравнения, которое можно решить с помощью подстановки u и du, описанной выше.
Иной случай возникает, когда и синус, и косинус имеют четные экспоненты. В этом случае нам нужно использовать формулу тождества, чтобы заменить все синусы на косинусы (или наоборот) вместо того, чтобы оставить один. Затем мы используем одну из формул уменьшения тригонометрического интеграла, приведенных выше, для каждой части уравнения. После того как мы выполним каждый интеграл отдельно, мы снова соберем их вместе в исходное уравнение. С помощью формул тождеств любой тригонометрический член можно преобразовать в синусы и косинусы.
Russian