Тесселяции

Мозаики — это геометрические узоры, которые могут быть идеально подогнаны друг к другу и повторяться бесконечно.  Все настоящие тесселяции относятся к одной из двух категорий: регулярные и полурегулярные. Обе эти категории объединяет то, что формы, окружающие каждую вершину, или точку встречи, идентичны, и узор можно повторять бесконечно, не оставляя никаких зазоров или наложений. Но что именно все это значит? Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы выяснить это.

Обычные тесселяции

Этот тип тесселяции создается с помощью повторяющихся регулярных многоугольников. Регулярные многоугольники — это двумерные фигуры, которые имеют одинаковые углы и стороны. В целом, правильные многоугольники могут иметь любое количество сторон, начиная от трех и выше. Однако существует только три типа регулярных многоугольников, которые могут быть использованы для формирования регулярных тесселяций: треугольники, квадраты и шестиугольники.

Полурегулярные тесселяции

Полуправильная тесселяция также состоит из правильных многоугольников, но вместо одного повторяющегося многоугольника в ней используются два или более, чтобы сформировать более сложный узор. Всего существует восемь полурегулярных тесселяций.

Описание тесселяций

Тесселяции можно назвать, перечислив все многоугольники, окружающие вершину, в соответствии с количеством цифр в каждом из них. Как отмечалось выше, узор будет одинаковым независимо от того, какая вершина выбрана. Так, например, регулярная тесселяция, использующая только шестиугольники, может быть названа тесселяцией «6.6.6»; тесселяция, использующая только квадраты или прямоугольники, будет тесселяцией «4.4.4», а тесселяция, использующая только треугольники, может быть обозначена как «3.3.3».

Тот же принцип используется для описания полурегулярных тесселяций. Они могут выглядеть более сложными, но все равно подчиняются тем же правилам. Давайте рассмотрим немного более сложный пример, чтобы проиллюстрировать суть.

Полурегулярная тесселяция, использующая треугольники, квадраты и шестиугольники для создания более сложного узора, все равно будет иметь те же повторяющиеся формы в том же порядке вокруг каждой вершины. Посмотрите на пример выше. Выберите начальную точку и посчитайте количество сторон у каждой фигуры, которая встречается с ней. Независимо от того, какая точка будет выбрана, описание будет одинаковым: «3.4.6.4».

При описании полурегулярной тесселяции всегда начинайте с фигуры, имеющей наименьшее количество сторон. Приведенный выше рисунок всегда будет описан как тесселяция «3.4.6.4», и никогда как «4.3.4.6».

Демирегулярные тесселяции

Хотя демирегулярные тесселяции широко используются такими художниками, как М.К. Эшер и Роберт Фатауэр, для достижения большого эстетического эффекта, большинство математиков не считают их истинными тесселяциями. Аналогично, некоторые геометрические художники и математики считают, что повторяющиеся узоры, включающие круги и другие изогнутые формы, также должны считаться тесселяциями. Оппоненты отмечают, что технически они не могут соответствовать самому строгому определению, поскольку не являются многоугольниками.