Теория чисел

Краткое введение в теорию чисел

Теория чисел — это раздел математики, изучающий целые числа, которые представляют собой все целые числа по обе стороны числовой прямой. Теория чисел рассматривает специфические свойства целых чисел и ищет закономерности в том, как различные типы чисел распределены или связаны друг с другом.

Примеры теории чисел

Ниже перечислены некоторые темы курса теории чисел и несколько примеров по каждой из них.

Правила делимости.

Правила делимости — это инструменты, которые помогут вам быстро определить, делится ли число на определенное целое число. Ниже приведено несколько примеров правил.

Все четные числа (оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8) делятся на 2. Например, 1 104 делится на 2, потому что его последняя цифра — 4 — делится на 2.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на три. Например, число 288 делится на 3, потому что 2+8+8=18, что делится на 3.

Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3. Во втором примере выше мы установили, что 288 делится на 3. Поскольку оно оканчивается на четное число, оно также делится на 2, а значит, 288 делится на 6.

Факторы.

Факторы — это два целых числа, которые при умножении вместе равны третьему числу. Все числа, кроме 0 и 1, имеют как минимум два фактора: 1 и само число. Но у чисел может быть гораздо больше факторов. Например, число 100 имеет 9 факторов: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100.

Прайм-числа.

Прайм-числа — это особый набор чисел, которые имеют только 2 различных фактора: 1 и само число. Например, число 11 является простым, потому что его единственными факторами являются 1 и 11. Число 12, с другой стороны, является составным (не простым) числом, поскольку оно имеет 5 различных факторов: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Математики интересуются простыми числами, потому что они представляют собой строительные блоки всех существующих чисел. Это означает, что каждое составное число может быть представлено как произведение простых факторов. Например, 100 = 2 x 2 x 5 x 5. Простые числа очень интересны еще и потому, что о них еще многое неизвестно.

Несколько простых задач по теории чисел и их решения

Многие базовые задачи по теории чисел связаны с факторизацией. Ниже приведена пара примеров:

Проблема: У вас есть некоторое количество печенья. Вы можете разделить их поровну между 2, 3 или 4 людьми. Какое минимальное количество печенья вы можете иметь, чтобы выполнить эти условия?

Решение: Ответ: 12, потому что 2, 3 и 4 — все коэффициенты 12, а 12 — наименьшее общее кратное этих чисел.

Задача: Какое из следующих чисел нельзя разделить на меньшие равные группы: 5106, 5281 или 5751?

Решение: 5281 — простое число, поэтому его нельзя разделить на меньшие равные группы. Оно может быть найдено методом исключения. 5106 оканчивается на четное число, поэтому оно должно быть кратно 2. В случае 5751 сумма цифр (5+7+5+1=18) делится на три, поэтому 5751 должно быть кратно 3.

Применение теории чисел

Одним из наиболее известных применений теории чисел является криптография, особенно в Интернете. Современная криптография зависит от простой факторизации чрезвычайно больших чисел. Теория чисел также внесла большой вклад в развитие информатики.