Теоремы

Что такое теорема?

Слово «теорема» связано со словами «теория» и «теоретический», которые происходят от греческого «theorein», что означает «смотреть». Позже это слово стало означать «изучать» и «предполагать». Сейчас слово «теорема» описывает утверждение, которое считается истинным, потому что оно обосновано с помощью математической логики. Другими словами, она не является самоочевидной, а подтверждается доказательством.

Теоремы лежат в основе математики, и считается, что они описывают факты, которые абсолютно истинны. В основе математики лежит открытие и понимание законов, которые лежат в основе нашей системы чисел, геометрии и алгебры. Законы и принципы — это теоремы, которые имеют широкое применение.

Ниже приведены десять наиболее известных теорем, с которыми учащиеся, скорее всего, столкнутся на уроках математики в средней школе и колледже.

Теорема Пифагора

Одна из самых известных теорем — теорема Пифагора. Она была названа в честь греческого математика Пифагора, который был лидером небольшой группы математиков, поклонявшихся математике и посвятивших себя изучению чисел и философии. Хотя сама теорема была известна за 1000 лет до времени Пифагора, он был первым, кто придумал доказательство.

Теорема касается соотношений между длинами сторон правильного треугольника и просто утверждает, что квадрат гипотенузы правильного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. Если гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу, или длинная сторона) называется c, а две другие стороны — a и b, то теорему можно выразить формулой a2 + b2 = c2.

Доказательство Евклида о бесконечности простых чисел

Евклид был греческим математиком, родившимся в середине IV века до н.э., который известен как отец геометрии. Используя лишь небольшой набор аксиом, он вывел все принципы того, что стало известно как евклидова геометрия, которая доминировала в изучении математики вплоть до 20 века. Одна из его самых известных теорем — доказательство того, что существует бесконечное число простых чисел.

Его доказательство основывается на аксиоме, что все не простые, или составные, числа могут быть разбиты на простые коэффициенты. Затем он заявил, что для любого набора простых чисел можно найти другое простое число, которого нет в наборе, путем умножения чисел в наборе и добавления 1. Например, если набор простых чисел {3, 5, 11}, мы можем найти новое простое число с помощью следующего уравнения: 1 + (3 x 5 x 11) = 166. Новое число не может иметь никаких факторов в исходном наборе. Коэффициентами числа 166 являются 1, 2, 86 и 166.

Поэтому, если взять все существующие простые числа, перемножить их и добавить 1, то получится новое простое число. Таким образом, количество простых чисел не имеет предела.

Фундаментальная теорема арифметики

Евклид также является автором теоремы, известной как Фундаментальная теорема арифметики, которая гласит, что все числа состоят из простых факторов, что является основой предыдущей теоремы. Эта теорема утверждает, что каждое число больше 13 является либо простым числом, либо произведением простых факторов. Она также утверждает, что каждое число имеет уникальную простую факторизацию, которая имеет только одно возможное представление. Другими словами, если число 100 разложить на простые коэффициенты, то получится 2 x 2 x 5 x 5. Теорема утверждает, что это единственная возможная простая факторизация числа 100.

Теорема также объясняет, почему число 1 не считается простым числом. Если бы это было так, то другое число могло бы иметь несколько простых факторизаций. Другими словами, число 100 можно разложить как 1 x 2 x 2 x 5 x 5 или 1 x 1 x 2 x 2 x 5 x 5 и т. д.

Теорема о четырех цветах

Эта теорема утверждает, что если плоская плоскость разделена на любое количество смежных областей, то для окраски каждой области требуется минимум четыре цвета, чтобы никакие два цвета не соприкасались.

Теорема о четырех цветах — это гораздо более новая теорема, чем те, которые обсуждались ранее, и она знаменита тем, что это была первая теорема, доказанная с помощью компьютера. Впервые она была доказана в 1975 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном с помощью компьютерной программы, разработанной специально для этого доказательства. Еще два доказательства с помощью программ были сделаны в 1997 и в 2005 годах. Однако математики все еще ищут более простое и элегантное доказательство.

Квадратный корень из 2 иррационален

Хотя это доказательство приписывается пифагорейским математикам, его реальное происхождение неизвестно, и эксперты считают, что оно пришло из древнеегипетских источников. Эта теорема утверждает, что квадратный корень из 2 иррационален, то есть его нельзя выразить как отношение, или дробь, двух чисел.

«Квадратный корень из 2» может ответить на вопрос «какова длина диагонали 1-дюймового квадрата?». Согласно теореме Пифагора, приведенной выше, a2 + b2 = c2, поэтому 12 + 12 = 22. Таким образом, √12 + √12 = √22 и 1 + 1 = √2.

Один из способов доказать, что √2 иррационально, — это начать с того, что при возведении рационального числа в квадрат каждый простой множитель имеет четную экспоненту. Поскольку √22 равно 2, а число 2 можно выразить как 21/11 (22/21 или 23/22 и т.д.), квадратный корень из 2 должен быть иррациональным.

Пи — иррациональное число

Другим известным иррациональным числом является число пи, которое также записывается греческой буквой π. Пи — это отношение окружности (расстояния вокруг) к диаметру (расстоянию поперек) любого круга. Хотя это отношение наблюдалось в древних культурах, Архимед из Сиракуз, живший во втором веке до нашей эры, был первым, кто точно вычислил значение числа пи. Лишь в XIX веке математик Джон Генрих Ламберт доказал, что пи — иррациональное число, то есть его нельзя выразить как отношение двух любых чисел. Как иррациональное число, пи является бесконечным и неповторяющимся.

Малая теорема Ферма

Пьер де Фермат, французский математик XVII века, известен как отец современной теории чисел. Его Малая теорема — это тест, позволяющий определить, является ли число простым. Она гласит, что если P простое, то для любого целого числа a, aP — a делится на P.

Например, 23 — 2 = 6. 6 делится на 3, потому что 3 — простое. С другой стороны, 34 — 3 = 78. 78 не делится на 4, потому что 4 не является простым. Эта теорема полезна для проверки целого числа, чья первичность неизвестна, поскольку с ее помощью можно быстро определить не простые числа.

Последняя теорема Ферма

Эта теорема знаменита тем, что она считалась неразрешимой более 350 лет. Фермат написал ее на полях математического текста в 1638 году, а математик по имени Эндрю Уайлс придумал доказательство в 1995 году, проработав над ним семь лет.

Теорема гласит, что если n — любое число больше 2, а x, y, z и n — все натуральные числа, то не существует решения уравнения xn + yn = zn. Уравнение разрешимо при n = 2, и в этом случае x, y и z известны как «пифагорейские тройки». Однако если n равно 3 или больше, то x, y и z не могут быть натуральными числами.

Закон больших чисел

Эта теорема была впервые сформулирована Якобом Бернулли, швейцарским математиком, жившим во второй половине XVII века. Ее называли «теоремой Бернулли», но чаще ее называют законом больших чисел. Этот закон относится к области статистики и гласит, что когда мы наблюдаем любой процесс со случайными исходами, например, бросание монеты или кубика, средний результат будет приближаться к ожидаемому результату по мере увеличения числа попыток.

Другими словами, при подбрасывании монеты существует 50% вероятность того, что она упадет на голову, поэтому мы можем ожидать, что при многократном подбрасывании монеты на голову она будет падать в 50% случаев. Конечно, возможно выпадение 5 или 10 голов подряд, то есть результаты могут быть далеки от 50%. Но поскольку мы продолжаем бросать монету, в конечном итоге средние результаты стабилизируются вблизи 50%.

Теорема о предельных числах

Эта теорема рассматривает вопрос о том, как простые числа распределяются среди целых положительных чисел. Доказанная в 1896 году двумя независимыми математиками, Жаком Хадамаром и Шарлем Жаном де ла Валле-Пуссеном, теорема утверждает, что простые числа встречаются реже, чем больше, и количественно определяется формулой π(x) ~ x/log(x), где π(x) означает количество простых чисел, которые меньше или равны любому действительному числу x.