Расширение биномов выглядит сложным, но это просто умножение бинома на себя несколько раз. На самом деле существует закономерность в том, как выглядит бином, когда он умножается на себя снова и снова, и несколько различных способов найти ответ для определенной экспоненты или найти определенную часть полученного многочлена.
Биномы — это уравнения, состоящие из двух членов. Например, a+b имеет два члена, один из которых — «a», а второй — «b». Многочлены имеют более двух членов. При умножении бинома на себя получается многочлен, и чем больше раз он умножается, тем длиннее может быть полученный многочлен. Разложить такой бином, как (a+b), до экспоненты 2 относительно просто. Однако когда требуются гораздо более высокие экспоненты, важно понимать закономерности и формулы, которые помогут получить правильный ответ.
Закономерность между экспонентами для расширенных биномов
Для бинома типа (a+b) умножение на экспоненту означает умножение на само себя столько раз, сколько указано в экспоненте. Если экспонента равна 2, то это многочлен с тремя частями. При экспоненте 3 он состоит из 4 частей. Чем выше экспонента, тем длиннее результирующий многочлен.
В полученном многочлене с экспонентами развивается закономерность. Если экспонента равна 3, то в полученном уравнении экспоненты для «a» начинаются с 3 и уменьшаются по мере чтения уравнения слева направо. Для «b» экспоненты начинаются с 0 и возрастают до 3.
Подставив эти числа в a6(n-k)b(k), где k — искомая часть полученного многочлена, а n — экспонента, можно определить экспоненты всех членов многочлена. Начните с крайнего левого члена и при k=0 найдите экспоненты для каждого члена многочлена.
Определение коэффициента для расширенных биномов
Для нахождения коэффициента для этих членов используется треугольник Паскаля. Первое используемое число — 1, за ним следует число экспоненты. Далее, следуя по линии треугольника Паскаля, учащийся может определить остальные коэффициенты в многочлене.
Другой способ найти коэффициенты — использовать формулу n!/(k!(n-k)!). Если раскладываемый бином имеет экспоненту 3, а 2-й коэффициент является искомым, то формула будет работать следующим образом: 3!/(2!(3-2)!) = 3!/2!1! = 3x2x1/2x1x1 = 6/2 = 3.
Биномиальная теорема
Теорема биномов — это один из способов решения разложения бинома на любую экспоненту. Однако зачастую это не самый простой способ решения задачи. Если требуется только один член, проще решить задачу путем определения экспоненты и решения для коэффициента. Однако понимание теоремы биномов позволяет студенту выполнить все вышеперечисленные вычисления за один раз, чтобы получить полный многочлен из разложения бинома.
Хотя работа с биномом с показателем 2 или даже 3 может быть выполнена легко, решение для более высоких показателей может быть более сложным. Приведенные здесь формулы могут облегчить ученику решение для любой экспоненты или найти только один член полученного многочлена для любой экспоненты.
Russian