Математики, как и фокусники, художники и другие мастера изобразительного искусства, лучше всего общаются, когда они сопровождают абстракции, о которых говорят, визуальными средствами. Давно доказано, что подавляющее большинство людей учатся визуально. Легко построить график простых линейных уравнений на числовой прямой. Однако это не единственный способ наглядно изобразить математическое выражение. С помощью координатной плоскости можно снова построить точки линейного выражения. Координатная плоскость также полезна для построения графиков неравенств. Если мысль о построении графиков неравных уравнений звучит пугающе, вздохните с облегчением. Хотя это и отличается от построения графиков выражений на числовой прямой, все так же просто.
Вспомните, как вы строили график линейного выражения на числовой прямой. Допустим, задача была x < 6. Что вы сделали, чтобы решить ее? Вы нарисовали числовую линию, отметили 6 открытым кружком, чтобы показать, что 6 не является частью ответа, а затем заштриховали все, что было слева, чтобы показать, что эти числа меньше 6. Вы увидите, что построение графика линейного неравенства с двумя переменными очень похоже.
При построении графиков неравенств вместо числовой прямой мы используем координатную плоскость x и y. Координатная плоскость — это, по сути, еще одна числовая линия, двумерная числовая линия с двумя прямыми, которые пересекаются под углом 90° в точке нуля обеих линий, называемой началом координат. Вертикальная линия называется осью y, а горизонтальная линия — осью x. Эти оси делят координатную плоскость на четыре квадранта, которые, начиная с правого верхнего квадранта и двигаясь против часовой стрелки, называются квадрантами 1, 2, 3 и 4.
Каждое пересечение на координатной плоскости представляет собой определенную упорядоченную пару точек (x,y). Точки на оси x справа от нуля — это положительные числа, а точки слева от нуля — отрицательные числа. На оси y точки выше нуля обозначают положительные числа, а точки ниже нуля — отрицательные.
Начнем с простого неравенства. Постройте график y ≤ 2x + 4. Наша цель — найти все упорядоченные пары точек x и y, которые удовлетворяют этому выражению. На самом деле мы рассматриваем два утверждения: что y = 2x + 4 и что y < 2x + 4. Итак, сначала постройте график прямой y = 2x + 4.
Есть два способа продемонстрировать фактическое неравенство, содержащееся в этом выражении. Первый — заштриховать карандашом область решения. Вы обозначили равносильную часть с помощью линии, которую уже изобразили на графике. Теперь вам просто нужно заштриховать в ту или иную сторону от линии, чтобы обозначить часть графика, меньшую чем y. Если y меньше, чем линия, нужно заштриховать ниже нее.
Второй вариант — использовать контрольные точки и нанести их на график. Поскольку вы уже построили график того, чему равен y, теперь подставьте тестовые числа в уравнение в виде x и решите задачу, чтобы узнать, чему меньше y. Независимо от того, каковы ваши тестовые числа, вы обнаружите, что все ваши значения y будут меньше тех, которые построены на линии равенства.
Если бы уравнение, которое вы решали, было не ≤, а просто <, вы бы обозначили это пунктирной линией на графике. Пунктирная линия исключает себя из уравнения так же, как и разомкнутый круг на числовой прямой.
Russian