У функций есть участки, которые то поднимаются вверх, то снова опускаются вниз. В точках, где происходит изменение, обычно имеется очень маленькое плато. Эти плато могут быть максимумами или минимумами (множественное число для максимума или минимума), в зависимости от того, где они находятся на графике. Вместе они составляют экстремумы. График может иметь локальные и глобальные экстремумы. Локальные — это максимум или минимум для небольшого участка графика, а глобальные — это максимум или минимум для всего графика, включая части, которые могут быть не показаны, поскольку вся функция слишком велика, чтобы изобразить ее на одном графике.
Как найти максимумы и минимумы
Экстремумы — это точки, в которых функция мгновенно сглаживается. Легко увидеть, где они находятся на графике, но необходимо найти точные цифры, определив, где наклон равен нулю. Когда наклон равен нулю, линия горизонтальна, даже если это происходит только в одной точке, прежде чем она снова начнет подниматься или опускаться. Найти, где наклон равен нулю, помогут производные.
Наклон и производные
Наклон функции — это просто изменение y, деленное на изменение x. В одной точке наклон будет равен нулю, потому что точка не движется ни в каком направлении. Однако производные можно использовать для определения наклона очень маленькой области вокруг точки, что поможет определить наклон в точке.
Понимание правил производных может облегчить определение уклона точки. Когда наклон известен, можно определить, является ли точка максимумом или минимумом, посмотрев, становится ли число меньше или больше. Для этого нужно найти вторую производную, на этот раз от наклона, где наклон функции равен нулю при x. Если вторая производная при x меньше 0, то это максимум. Когда она больше нуля, это минимум.
Когда вторая производная равна нулю
На графике существует множество плато, где наклон равен нулю, но не все они являются точками максимума или минимума. Важно знать, когда точка является просто плоской точкой на графике (также называемой седловой точкой), а когда это максимум или минимум. Чтобы определить это, необходимо найти первую производную функции, чтобы получить наклон, а затем производную наклона в точке x. Если она выше или ниже нуля, то это означает максимум или минимум. В некоторых случаях, однако, она будет равна нулю. Когда это происходит, это седловая точка, а не один из локальных экстремумов для данного графика.
Для любой дифференцируемой функции можно найти минимумы и максимумы для локальных частей графика или для всего графика в целом, используя два набора производных. Это также может помочь определить, является ли рассматриваемая точка минимумом или максимумом, или же это седловая точка для данного конкретного графика. Практика работы с производными и изучение правил работы с производными значительно облегчает процесс обучения их использованию для нахождения наклона и экстремумов графика.
Russian