В геометрии линии, входящие в многоугольники, прямые, поэтому легко определить площадь. Однако в некоторых случаях линии на графике будут не прямыми, а изогнутыми. Они являются отображением функции на графике. Когда необходимо найти площадь на графике функции, формулы, используемые для нахождения площади многоугольника, не подходят, поскольку они не точны, когда речь идет об изогнутой линии. Вместо этого для нахождения точной площади используется исчисление.
Фундаментальная теорема исчисления
Чтобы найти площадь пространства на графике, построенном на основе функции, необходимо использовать фундаментальную теорему исчисления. В этой теореме предполагается, что на графике есть функция и две точки, обозначающие начало и конец измеряемой области. Промежуток между этими двумя точками и есть интеграл.
Теорему можно разделить на две различные части. Первая часть обозначает, что требуется, а вторая — как ее решить. В письменном виде теорема гласит, что интеграл от a до b от f(x)dx равен g(b)-g(a), где g — антипроизводная от f(x). Это означает, что площадь находится путем вычитания антипроизводной функции, решенной для a, из антипроизводной функции, решенной для b.
Чтобы решить теорему для функции, необходимо найти антипроизводную этой функции. Им является g(x). Затем к нему подставляются a и b и решаются. Наконец, ответ для a вычитается из b, чтобы получить необходимую площадь.
Нахождение антипроизводной
Одна из самых важных частей решения фундаментальной теоремы исчисления — это понимание того, как найти антипроизводную функции. Способ нахождения антипроизводной зависит от типа функции в задаче. Например, для функций, имеющих экспоненту, применимо правило силы. Во многих случаях для нахождения антипроизводной функции необходимо использовать обратные правила.
Почему вычисления — это легко
Вычисления состоят всего из двух частей: дифференциалов и интегралов. Дифференциальное исчисление в основном предполагает нахождение производных, а интегральное исчисление в целом предполагает нахождение интегралов. Нахождение производных предполагает деление, а нахождение интегралов — умножение. Это основы исчисления, и пока человек понимает формулы алгебры и тригонометрии, необходимые для выполнения вышеперечисленных действий, он сможет легко решать множество различных задач по исчислению.
Хотя легко найти площадь, когда все линии прямые, это возможно не во всех случаях. Вычисления и фундаментальная теорема исчисления позволяют студентам находить площадь на графиках, которые включают функцию вместо прямой линии. Это базовый компонент исчисления, освоив который, студент сможет легко решать многие задачи по исчислению. Один из наиболее распространенных примеров использования этой теоремы в реальном мире — использование фундаментальной теоремы для определения скорости автомобиля в определенный момент времени, а не просто среднего значения скорости, с которой он ехал в течение всей поездки. Поскольку автомобиль может ускоряться и замедляться, график будет включать кривую линию, поэтому фундаментальная теорема необходима, так как формулы, используемые для многоугольников, не дадут точного ответа.
Russian