Арифметическая последовательность

Что такое арифметическая последовательность?

Арифметическая последовательность — это бесконечная последовательность чисел, в которой разница между каждой парой последовательных чисел всегда одна и та же. Например, в последовательности 1, 3, 5, 7, 9 … разница между одним числом и следующим всегда равна 2.

Какова постоянная разность (d) между любыми двумя последовательными числами в следующих последовательностях?

-5, -3, -1, 1, 3, 5 . . .

.5, 1, 1.5, 2 . . .

10, 6, 2, -2 . . .

В первой последовательности d = 2, потому что к любому числу в последовательности можно прибавить 2, чтобы получить следующее число. Например, -3 + 2 = -1 и 1 +2 = 3. Во второй последовательности d = .5. В третьей последовательности каждое число на 4 меньше предыдущего, поэтому d = -4.

Рекурсивная формула для арифметической последовательности

Одним из способов нахождения числа в последовательности является использование рекурсивной формулы. Для записи формулы мы используем следующие обозначения:

a — член последовательности.

n — количество членов в последовательности.

d — постоянная разность между членами.

Таким образом, an = an-1 + d

Другими словами, чтобы найти 5-е число в последовательности с постоянной разностью 6, нам нужно знать 4-е число (an-1) и прибавить к нему 6. Если нам дана последовательность 5, 11, 17, 23, и нам нужно найти следующее число, мы можем легко применить эту формулу, прибавив 6 к 23 и получив 29. Другими словами, если d = 6 и если an — 1 = 23, то

an = 23 + 6 = 29

Явная формула для арифметической последовательности

Однако если у нас есть только первое число в последовательности (a1), то явная формула может быть более полезным способом найти другое число в последовательности. Чтобы понять, как выводится явная формула, давайте начнем со следующей последовательности, где d = -7:

100, 93, 86, 79 . . .

Чтобы получить первое число, мы начинаем со 100 и прибавляем -7 ноль раз. Таким образом, a1 = 100 + (-7 x 0). Чтобы получить второе число, вычтем 7 один раз. Таким образом, a2 = 100 + (-7 x 1). Следующее число в серии — a3 = 100 + (-7 x 2), и так далее. Каждый раз мы прибавляем -7 ровно на один раз меньше, чем количество членов в последовательности. Поэтому мы можем написать общую формулу для выражения этой закономерности следующим образом:

an = a1 + (n-1) x d

Если мы хотим найти, например, 17-е число в серии, которая начинается с 3 и имеет постоянную разность .5, мы можем подставить эту информацию в формулу следующим образом:

a17 = 3 + (17-1) x .5 = 11

Практика

Задача 1: Какова постоянная разность (d) в следующей последовательности?

24, 32, 40, 48, 56 . . .

Решение: В этой последовательности d = 8, потому что мы можем прибавить 8 к каждому числу, чтобы получить следующее число.

Задача 2: Каково следующее число в приведенной выше последовательности?

Решение: Используя рекурсивную формулу, мы знаем, что 6-е число (a6) равно 5-му числу (a6-1) плюс постоянная разность (d). Поскольку 56 + 8 = 64, следующее число в серии — 64.

Задача 3: Напишите явную формулу для последовательности из задачи 1 и используйте эту формулу для нахождения 11-го числа в последовательности.

Решение: Так как an = 24 + (n-1) x 8, а n = 11, то a11 = 24 + (11-1) x 8 = 104.